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나는 추상적 대칭 이론의 기본 성질들 가운데 몇 가지를 지적하고 싶은데, 이것이 수학이 왜 중요한지에 대한 좋은 예시이기 때문이다.
첫번째 성질은 보편성(universality)이다. 원군은 둥근 탁자의 대칭군일 뿐 아니라, 유리잔, 병, 원기둥 등과 같은 여타의 둥근 객체들의 대칭군이기도 하다. 사실상, 어떤 주어진 객체가 둥글다고 말하는 것은 그것의 대칭군이 원군이라고 말하는 것과 같다. 이것은 강력한 진술이다. 우리는 어떤 객체의 대칭군(원)을 서술함으로써 그것의 중요한 속성("둥글다는 것")을 서술할 수 있다고 깨닫는다. [...] 다시 말해서, (원군과 같은) 동일한 추상적인 수학적 객체가 상이한 여러 구체적인 객체들에 알맞고, 그래서 그것은 (원형성 같은) 그것들 모두가 공유하는 보편적 특성들을 가리킨다.
두번째 성질은 객관성(objectivity)이다. 예를 들면, 군이라는 개념은 우리의 해석에 독립적이다. 그것은 그것을 배운 사람이라면 누구에게나 같은 것을 의미한다. 물론, 그것을 이해하기 위해서는 그것을 표현하는 언어, 즉 수학적 언어를 알아야 한다. 그런데 누구나 이 언어를 배울 수 있다. 마찬가지로, 르네 데카르트의 문장 "Je pense, donc je suis"의 의미를 이해하고 싶다면, 프랑스어(최소한 이 문장에서 사용되는 낱말들)를 알 필요가 있는데, 누구나 프랑스어를 배울 수 있다. 그렇지만, 이 문장의 경우에는, 일단 그것을 이해하면 그것에 대한 다른 해석들이 가능하다. 또한, 이 문장에 대한 어떤 특수한 해석이 참인지 거짓인지를 둘러싸고 다양한 사람들이 동의하거나 동의하지 않을 것이다. 이와는 대조적으로, 논리적으로 일관된 수학적 진술의 의미는 해석에 지배를 받지 않는다. 게다가, 그것의 진리성도 객관적이다. [...] 예를 들면, "둥근 탁자의 대칭군은 원이다"라는 진술은 누구에게나, 어느 곳에서나, 어느 때라도 참이다. 다시 말해서, 수학적 진리는 필연적 진리이다. [...]
밀접히 연관된 세번째 성질은 지속성(endurance)이다. 피타고라스 정리가 현대인들과 마찬가지로 고대 그리스인들에게도 동일한 것을 의미했다는 점은 의심의 여지가 거의 없으며, 그리고 그것이 미래의 누구에게도 동일한 것을 의미할 것이라고 예상할 모든 이유가 있다. 마찬가지로, 모든 참인 수학적 진술은 [...] 영원히 참인 채로 남을 것이다.
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네번째 성질은 물리적 세계에 대한 수학의 적실성(relevance)이다. 예를 들면, 기본 입자들과 그것들 사이의 상호작용들에 대칭 개념을 적용하였기 때문에 지난 오십 년 동안 양자역학에서 많은 진보가 이루어졌다. 이런 관점에서 바라보면, 전자나 쿼크 같은 입자는 둥근 탁자나 눈송이 같고, 그래서 그것의 거동은 자체의 대칭성에 의해 대부분 결정된다.
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―― 에드워드 프렌켈(Edward Frenkel), <<사랑과 수학: 숨은 실재의 핵심(Love and Math: The Heart of Hidden Reality)>>(2013), pp. 22-3.